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Tsirelson 界

Tsirelson's boundBell 非局域性半定规划

陈述

对任意量子态 \(\rho\)（任意维数）和任意满足 \(-\mathbb 1\le A_x,B_y\le\mathbb 1\) 的观测量，定义 CHSH 算符

\[\mathcal B=A_0\otimes B_0+A_0\otimes B_1+A_1\otimes B_0-A_1\otimes B_1,\]

则

\[\lvert S\rvert=\lvert\Tr(\rho\,\mathcal B)\rvert\le 2\sqrt2 .\]

直观含义

量子关联比局域关联强（CHSH 不等式的局域上界是 2），但又没有强到无信号原理允许的极限 4。实验测到 \(2<S\le2\sqrt2\) 说明存在非局域性，而测到 \(S>2\sqrt2\) 则说明连量子力学也解释不了（或者实验有问题）。

成立条件

  • 量子理论：概率由 Born 规则 \(p(ab|xy)=\Tr[\rho\,(M_{a|x}\otimes N_{b|y})]\) 给出。
  • 两方测量相容：张量积结构 \(A_x\otimes B_y\)，或者更一般地 \([A_x,B_y]=0\)（对易算子框架）。
  • 观测量有界：本征值在 \([-1,1]\) 内，也就是结果取 \(\pm1\) 时的期望值。

态可以是混合态、维数不限，所以这是器件无关的上界。只假设无信号原理是不够的：PR box 满足无信号却能达到 \(S=4\)。

证明思路

先考虑 \(A_x^2=B_y^2=\mathbb 1\)（投影测量；一般情形用 Naimark 扩张化归到这里）。

直接展开可以验证

\[2\sqrt2\,\mathbb 1-\mathcal B=\frac{1}{\sqrt2}\left[\Big(A_0-\tfrac{B_0+B_1}{\sqrt2}\Big)^2+\Big(A_1-\tfrac{B_0-B_1}{\sqrt2}\Big)^2\right]\ge0,\]

所以 \(\mathcal B\le2\sqrt2\,\mathbb 1\)。这个分解正是 NPA 层级第一层半定规划（SDP）的对偶证书。

计算得 \(\mathcal B^2=4\,\mathbb 1-[A_0,A_1]\otimes[B_0,B_1]\)。由于 \(\lVert[A_0,A_1]\rVert\le2\)、\(\lVert[B_0,B_1]\rVert\le2\)，得 \(\lVert\mathcal B\rVert^2\le8\)，即 \(\lVert\mathcal B\rVert\le2\sqrt2\)。

何时取等

取最大纠缠态 \(\ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{00}+\ket{11})\) 和

\[A_0=Z,\quad A_1=X,\quad B_0=\frac{Z+X}{\sqrt2},\quad B_1=\frac{Z-X}{\sqrt2},\]

四个关联依次是 \(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}\)，所以 \(S=2\sqrt2\)。

反过来，由 SOS 分解，取等要求 \(A_0\ket\psi=\frac{B_0+B_1}{\sqrt2}\ket\psi\)、\(A_1\ket\psi=\frac{B_0-B_1}{\sqrt2}\ket\psi\)，由此可推出双方的两个观测量在态的支撑上反对易。于是在局域等距变换下，态只能是 \(\ket{\Phi^+}\)（外加无关的辅助系统），测量只能是上面那组——这就是 CHSH 的自检验（self-testing）。

相关结果

  • CHSH 不等式：局域隐变量模型的上界 2。
  • NPA 层级：用一列半定规划从外部逼近量子关联集合，对 CHSH 第一层就给出精确的 \(2\sqrt2\)。
  • 自检验的稳健版本：\(S\) 接近 \(2\sqrt2\) 时，态接近 \(\ket{\Phi^+}\)，保真度随偏差连续变化。
  • 原始文献：B. S. Cirel'son, Lett. Math. Phys. 4, 93 (1980)。

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