Kraus 算符

一句话回答：一个物理上合法的量子态变换，到底长什么样？

要点

Kraus 算符 $\{K_k\}$ 把任意线性、完全正（CP）的态变换写成 $\Phi(\rho)=\sum_k K_k\rho K_k^\dagger$，保迹等价于 $\sum_k K_k^\dagger K_k=\mathbb 1$。
它的起点是测量引起的状态更新（Hellwig–Kraus 的“纯操作”），而不是开放系统；后来才被发现与环境耦合的 Stinespring 图像完全等价。
三种等价说法：映射 CP $\Leftrightarrow$ Choi 矩阵半正定 $\Leftrightarrow$ 存在 Kraus 表示；Kraus 秩就是 Choi 矩阵的秩。
Kraus 表示不唯一：两组 Kraus 算符给出同一映射，当且仅当它们之间差一个等距（酉）混合。
应用覆盖开放系统与 Lindblad 方程、广义测量与量子仪器、量子纠错、过程层析、信道优化（SDP）以及相干性/纠缠的资源理论。

1. 问题从哪来

孤立系统的演化是酉的：$\rho\mapsto U\rho U^\dagger$。但现实里我们面对的几乎总是子系统：它和环境耦合、被测量、被丢弃一部分……此时 $\rho\mapsto\rho'$ 这种变换应该满足什么条件？

一个合理的清单是：

线性：对混合态的制备方式不敏感，$\Phi(p\rho_1+(1-p)\rho_2)=p\Phi(\rho_1)+(1-p)\Phi(\rho_2)$；
保持正性并保迹（若是确定性过程）：输出仍是密度矩阵；
完全正（CP）：对任意额外的、与系统无关的辅助系统 $R$，$\mathrm{id}_R\otimes\Phi$ 仍然把态映到态。

第 3 条是关键。只要求“正”是不够的：转置映射 $\rho\mapsto\rho^{T}$ 是正的，但作用在纠缠态的一半上会产生负本征值，所以它不是物理操作（见第 5 节的例子）。

Kraus 定理回答的就是：满足上面这些条件的映射，恰好就是能写成 $\sum_k K_k\rho K_k^\dagger$ 的那些。 于是“任意物理变换”被压缩成了“一组算符”。

2. 历史由来

名字的混乱

同一个结构在文献里有很多名字：Kraus 表示、算符和表示（operator-sum representation）、Kraus–Stinespring–Sudarshan 表示等。Nielsen–Chuang 的教材里把 $K_k$ 叫作“操作元”（operation elements）。这不是巧合：它确实是由多条独立线索汇合出来的。

年份	人物	贡献
1955	Stinespring	证明 C-代数上完全正映射的膨胀定理*：CP 映射等于“嵌入更大空间 + 压缩”
1961	Sudarshan、Mathews、Rau	研究有限能级系统最一般的动力学映射，已得到算符和形式，但当时没有“完全正”的概念，论证里有缺口（用到的矩阵只是块正而非正）
1968–1970	Hellwig、Kraus	在 Marburg 研究“纯操作”与测量：纯操作对应范数不超过 1 的算符 $A$，而 $F=A^\dagger A$ 是量子“效应”
1971	Kraus	《General state changes in quantum theory》，把一般的态变换（操作）系统化为密度矩阵上的线性映射，并给出算符和表示
1972	Jamiołkowski	映射与算符之间的对应（Choi–Jamiołkowski 同构的一部分）
1975	Choi	《Completely positive linear maps on complex matrices》，用有限维矩阵给出 CP 的完整刻画与简洁证明
1976	Gorini–Kossakowski–Sudarshan；Lindblad	完全正动力学半群的生成元，即 GKLS（Lindblad）方程
1983	Kraus	专著《States, Effects, and Operations》，把态、效应、操作作为量子理论的基本概念整理成体系
1990s	量子信息	Schumacher、Nielsen–Chuang 等把它变成量子信道、纠错、层析的标准语言

这里有几点值得记住：

Kraus 的原始语境是测量与量子场论。 “操作”一词承自 Haag–Kastler，指外部干预（如测量）引起的态变换；Hellwig–Kraus 的论文里，操作由系统与仪器的相互作用（一个 $S$ 矩阵）产生。因此 $K_k$ 最初就是“测得结果 $k$ 时的状态更新算符”。
更早的版本其实存在。 Sudarshan 等人 1961 年的论文已经含有算符和形式，只是当时没有区分“正”与“完全正”。这也是为什么有些文献称之为 Kraus–Sudarshan 表示。
数学上的根在 Stinespring。 在有限维下，Kraus 表示、Choi 矩阵和 Stinespring 膨胀本质上是同一个事实的三种写法（第 4 节）。
关于 Karl Kraus 本人：德国理论物理学家（1938–1988），工作于 Marburg 和 Würzburg 大学，英年早逝，留下的核心遗产就是上面这套“态、效应、操作”的语言。

3. 严格定义

设 $\mathcal H_A,\mathcal H_B$ 为有限维 Hilbert 空间，$\mathcal B(\mathcal H)$ 为其上的线性算符空间。

定义 1（量子操作与量子信道）

线性映射 $\Phi:\mathcal B(\mathcal H_A)\to\mathcal B(\mathcal H_B)$ 称为完全正（CP）的，如果对任意 $n$，$\mathrm{id}_n\otimes\Phi$ 都把半正定算符映为半正定算符。 CP 且迹不增（$\Tr\Phi(\rho)\le\Tr\rho$）的映射称为量子操作；CP 且保迹（TP）的映射称为量子信道。

定理 2（Kraus 表示定理）

对线性映射 $\Phi:\mathcal B(\mathcal H_A)\to\mathcal B(\mathcal H_B)$，下列条件等价：

$\Phi$ 是完全正的；
Choi 矩阵 $J(\Phi)=\sum_{i,j}\ket{i}\bra{j}\otimes\Phi(\ket{i}\bra{j})$ 半正定；
存在算符 $K_k:\mathcal H_A\to\mathcal H_B$（称为 Kraus 算符），使得 \begin{equation} \Phi(X)=\sum_{k}K_k\,X\,K_k^\dagger . \label{eq:kraus} \end{equation}

此外，$\Phi$ 保迹当且仅当 $\sum_kK_k^\dagger K_k=\mathbb 1_A$；迹不增当且仅当 $\sum_kK_k^\dagger K_k\le\mathbb 1_A$。

证明思路（2 ⇒ 3，3 ⇒ 1 显然）

3 ⇒ 1：对任意 $n$，$(\mathrm{id}_n\otimes\Phi)(Y)=\sum_k(\mathbb 1\otimes K_k)\,Y\,(\mathbb 1\otimes K_k)^\dagger$，当 $Y\ge0$ 时每一项都半正定。

2 ⇒ 3：记 $\ket{\Omega}=\sum_i\ket{i}\ket{i}$，则 $J(\Phi)=(\mathrm{id}\otimes\Phi)(\ket\Omega\bra\Omega)$，并且 $$ \Phi(X)=\Tr_A\big[(X^{T}\otimes\mathbb 1)\,J(\Phi)\big]. $$ $J\ge0$，所以可做谱分解 $J=\sum_k\ket{v_k}\bra{v_k}$（本征值已吸收进 $\ket{v_k}$）。把每个 $\ket{v_k}$ 写成 $\ket{v_k}=\sum_i\ket{i}\otimes K_k\ket{i}$，这就定义了 $K_k$。代入得 $$ J=\sum_{i,j}\ket i\bra j\otimes\sum_kK_k\ket i\bra jK_k^\dagger , $$ 即 $\Phi(\ket i\bra j)=\sum_kK_k\ket i\bra jK_k^\dagger$，由线性性得式 $\eqref{eq:kraus}$。

保迹条件：$\Tr\Phi(X)=\Tr\big[\sum_kK_k^\dagger K_k\,X\big]$ 对所有 $X$ 成立，当且仅当 $\sum_kK_k^\dagger K_k=\mathbb 1$。

3.1 与环境的关系（Stinespring 图像）

设环境初态为纯态 $\ket{0}_E$，系统与环境经酉算符 $U$ 作用后丢弃环境：

\[ \Phi(\rho)=\Tr_E\big[U(\rho\otimes\ket0\bra0_E)U^\dagger\big]. \]

在环境的某组正交基 $\{\ket{k}_E\}$ 下展开，立刻得到 Kraus 算符

\[ K_k=(\mathbb 1\otimes\bra{k}_E)\,U\,(\mathbb 1\otimes\ket{0}_E). \]

反过来，任意一组满足 $\sum K_k^\dagger K_k=\mathbb 1$ 的 $\{K_k\}$，都可以定义等距 $V\ket\psi=\sum_kK_k\ket\psi\otimes\ket{k}_E$ 而得到这样的环境模型（环境维数取 Kraus 算符个数即可）。

flowchart LR
  A[系统态 ρ] --> C[联合酉演化 U]
  B[环境初态] --> C
  C --> D[丢弃环境 / 对环境基测量]
  D --> E[Kraus 算符 K_k]
  E --> F[信道 Φ]

怎么理解 Kraus 指标 $k$

$k$ 是“环境里留下的记录”：不看环境，就把所有 $k$ 加起来，得到信道；读出了环境，就得到一个确定的 $k$，系统被更新为 $K_k\rho K_k^\dagger/p_k$。同一个信道可以有不同的“读出方式”，这正是下面非唯一性的物理含义。

3.2 重要性质

非唯一性（酉自由度）。 两组 Kraus 算符 $\{K_i\}$ 与 $\{L_j\}$（不足的一组用零算符补齐）给出同一映射，当且仅当存在酉矩阵 $u$ 使得 $K_i=\sum_ju_{ij}L_j$。

Kraus 秩。 最少需要的 Kraus 算符个数等于 Choi 矩阵的秩，且 $\le d_Ad_B$。Choi 矩阵的谱分解给出一组满足 $\Tr(K_i^\dagger K_j)\propto\delta_{ij}$ 的典范 Kraus 算符。酉信道的 Kraus 秩是 1。

对偶（Heisenberg 图像）。 $\Phi^\dagger(A)=\sum_kK_k^\dagger AK_k$；$\Phi$ 保迹等价于 $\Phi^\dagger$ 保单位元，而 $\Phi$ 为幺正保持（unital，$\Phi(\mathbb 1)=\mathbb 1$）对应的是另一个条件 $\sum_kK_kK_k^\dagger=\mathbb 1$。

复合与张量积。 信道级联时 Kraus 算符相乘：$\{L_jK_i\}$；两个独立信道并行时是 $\{K_i\otimes L_j\}$。

与 POVM 的关系。 若 $K_k$ 是测得结果 $k$ 时的更新算符，则

\[\begin{equation} p_k=\Tr\big(K_k\rho K_k^\dagger\big)=\Tr(E_k\rho),\qquad E_k=K_k^\dagger K_k,\qquad\sum_kE_k=\mathbb 1. \label{eq:povm} \end{equation}\]

POVM 元只决定 $K_k$ 的“模”：由极分解，$K_k=W_k\sqrt{E_k}$，$W_k$ 是任意酉（或等距）算符。取 $W_k=\mathbb 1$ 就是 Lüders 规则。所以 POVM 并不决定测量后的态，Kraus 算符（量子仪器）才决定。

3.3 同一个映射的几种写法

表示	形式	突出什么
Kraus 表示	$\Phi(\rho)=\sum_kK_k\rho K_k^\dagger$	物理直观，易于计算
Choi 矩阵	$J(\Phi)\ge0$，$\Tr_BJ=\mathbb 1_A$（保迹）	CP 和 TP 都变成线性矩阵不等式，适合 SDP
Stinespring 膨胀	$\Phi(\rho)=\Tr_E[V\rho V^\dagger]$	与环境、互补信道的联系
过程矩阵 $\chi$	$\Phi(\rho)=\sum_{m,n}\chi_{mn}E_m\rho E_n^\dagger$	在固定算符基（如 Pauli 基）下做层析
转移矩阵	$\mathrm{vec}\,\Phi(\rho)=\hat\Phi\,\mathrm{vec}\,\rho$	级联就是矩阵乘法

4. 例子

例题 3（单比特常见信道）

比特翻转：$K_0=\sqrt{1-p}\,\mathbb 1$，$K_1=\sqrt p\,X$。
去极化：$K_0=\sqrt{1-3p/4}\,\mathbb 1$，$K_{i}=\sqrt{p/4}\,\sigma_i$（$i=x,y,z$），作用为 $\rho\mapsto(1-p)\rho+p\,\mathbb 1/2$。
相位阻尼：$K_0=\mathrm{diag}(1,\sqrt{1-\lambda})$，$K_1=\mathrm{diag}(0,\sqrt\lambda)$，只衰减非对角元（退相干）。
振幅阻尼（自发辐射）： $$ K_0=\begin{pmatrix}1&0\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\qquad K_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt{\gamma}\0&0\end{pmatrix}=\sqrt\gamma\,\ket0\bra1 . $$ $K_1$ 是“跳跃”：把 $\ket1$ 变成 $\ket0$；$K_0$ 是“无跳跃”的无声演化，使 $\ket1$ 的振幅缓慢衰减。

验证保迹：$K_0^\dagger K_0+K_1^\dagger K_1=\mathrm{diag}(1,1-\gamma)+\mathrm{diag}(0,\gamma)=\mathbb 1$。

例题 4（为什么转置不是物理操作）

转置映射 $T(\rho)=\rho^{T}$ 对单比特是正的，但它的 Choi 矩阵恰好是 SWAP 算符，有本征值 $-1$。把 $T$ 作用到最大纠缠态 $\ket{\Phi^+}$ 的一半上，会得到有负本征值的算符。因此 $T$ 不是 CP，没有 Kraus 表示。这也是 PPT 判据检验纠缠的原理。

下面的代码验证了：振幅阻尼的 Choi 矩阵半正定、Kraus 秩为 2；从 Choi 矩阵重新提取出的另一组正交 Kraus 算符作用相同。

kraus_demo.py
import numpy as np

def apply(kraus, rho):
    """Φ(ρ) = Σ_k K_k ρ K_k†"""
    return sum(K @ rho @ K.conj().T for K in kraus)

def choi(kraus):
    """J(Φ) = Σ_ij |i><j| ⊗ Φ(|i><j|) = Σ_k |K_k>><<K_k|"""
    vecs = [K.T.reshape(-1) for K in kraus]     # |K>> = Σ_i |i> ⊗ K|i>
    return sum(np.outer(v, v.conj()) for v in vecs)

def choi_to_kraus(J, dA, dB, tol=1e-12):
    """J 的谱分解给出一组正交（典范）Kraus 算符"""
    w, V = np.linalg.eigh(J)
    return [np.sqrt(l) * V[:, k].reshape(dA, dB).T
            for k, l in enumerate(w) if l > tol]

g = 0.3
K0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - g)]])
K1 = np.array([[0, np.sqrt(g)], [0, 0]])
kraus = [K0, K1]

J = choi(kraus)
print("保迹:", np.allclose(sum(K.conj().T @ K for K in kraus), np.eye(2)))
print("Choi 半正定:", np.linalg.eigvalsh(J).min() > -1e-12)
print("Kraus 秩:", np.linalg.matrix_rank(J))

kraus2 = choi_to_kraus(J, 2, 2)
rho = np.array([[0.5, 0.5], [0.5, 0.5]])
print("两组 Kraus 作用一致:", np.allclose(apply(kraus, rho), apply(kraus2, rho)))

5. 作用与应用

5.1 开放系统动力学与 Lindblad 方程

取很短的时间步 $\mathrm{d}t$，把 Kraus 算符按 $\mathrm{d}t$ 的阶数展开：一个“无跳跃”项和若干“跳跃”项，

\[ K_0=\mathbb 1-\Big(iH+\tfrac12\sum_{k\ge1}L_k^\dagger L_k\Big)\mathrm{d}t,\qquad K_k=L_k\sqrt{\mathrm{d}t}\quad(k\ge1). \]

代入 $\rho+\mathrm{d}\rho=\sum_kK_k\rho K_k^\dagger$ 并保留到 $\mathrm{d}t$ 阶，得

\[ \dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_{k}\Big(L_k\rho L_k^\dagger-\tfrac12\{L_k^\dagger L_k,\rho\}\Big), \]

这就是 GKLS（Lindblad）主方程。反过来，它的解在每个时刻都是 CP 信道，这就是 Gorini–Kossakowski–Sudarshan 与 Lindblad 1976 年的结论。

由此还得到 量子跳跃 / 量子轨迹方法：把 $K_k$ 当作随机事件（探测到一个光子之类），沿着轨迹演化纯态，再对轨迹求平均。同一个主方程可以有不同的“展开”（unraveling），正是 Kraus 表示的酉自由度的体现。

5.2 广义测量与量子仪器

给定测量，每个结果 $k$ 对应一个 Kraus 算符（或一个完全正的“子操作”）：

概率 $p_k=\Tr(K_k\rho K_k^\dagger)$，后验态 $K_k\rho K_k^\dagger/p_k$；
不读出结果时，系统被映为 $\sum_kK_k\rho K_k^\dagger$，即一个量子信道；
弱测量、连续测量、测量反馈、后选择，都用这套语言描述。

对比：只用 POVM 能算概率，不能说测量后的态（式 $\eqref{eq:povm}$ 之后的讨论）。

5.3 量子纠错

噪声信道的 Kraus 算符就是错误算符。Knill–Laflamme 条件说，编码子空间的投影 $P$ 能纠正这个信道，当且仅当

\[ P\,E_i^\dagger E_j\,P=\alpha_{ij}P , \]

其中 $E_i$ 取遍（噪声的）Kraus 算符张成的集合。由于 Kraus 算符的线性组合也是合法的错误描述，只要能纠正一组基底上的错误（如 Pauli 错误），就能纠正它们张成的整个空间里的所有错误。这使得“连续的噪声”可以被“离散的综合征测量”处理。

5.4 量子过程层析

要实验上确定一个未知信道，可以把它的 Kraus 表示在固定算符基 $\{E_m\}$ 下展开，得到过程矩阵 $\chi$（第 3.3 节）。输入一组已知态、测量输出、再线性反演或做最大似然，就能重建 $\chi$（Chuang–Nielsen 与 Poyatos–Cirac–Zoller，1997）。重建出的 $\chi$ 必须满足 $\chi\ge0$（CP）与保迹的线性约束，这也是检验实验数据是否物理的标准。

5.5 信道优化与半定规划

因为 CP 与 TP 在 Choi 矩阵上是

\[ J\ge0,\qquad\Tr_BJ=\mathbb 1_A , \]

所以在所有信道上优化一个线性目标（保真度、最优克隆、态判别、信道判别……）就变成了半定规划（SDP）。拿到最优 $J$ 以后，再用谱分解（见上面的代码）还原 Kraus 算符，就得到了可实现的操作。

5.6 信道容量与互补信道

由 Stinespring 图像，环境上得到的是互补信道，它的矩阵元为 $\Phi^c(\rho)_{kl}=\Tr(K_k\rho K_l^\dagger)$。熵交换、相干信息、量子容量等量都可以从 Kraus 算符与互补信道算出。Schumacher 对“通过噪声信道传输纠缠”的分析就用到这套工具。

5.7 资源理论中的“自由操作”

在资源理论里，常常是用 Kraus 算符的形式来定义什么是自由操作：

不相干操作（IO）：每个 $K_k$ 都把不相干态映到不相干态（Baumgratz–Cramer–Plenio 2014），用来定义相干性资源理论；
可分操作（SEP）：$K_k=A_k\otimes B_k$，是比 LOCC 更宽、更易刻画的一类；
LOCC：其 Kraus 算符都有积的结构，但并非所有积结构的操作都能用 LOCC 实现。

5.8 数值模拟

密度矩阵模拟器里加噪声的标准做法就是给出 Kraus 算符。例如 Qiskit 的 qiskit.quantum_info.Kraus 类与 Cirq 的 cirq.KrausChannel 都直接接受 Kraus 算符列表。

6. 容易踩的坑

注意

$K_k$ 一般不是厄米的，也不是可观测量；$\rho\mapsto K\rho K^\dagger$ 里是 $K$ 与 $K^\dagger$ 各一次。
保迹条件是 $\sum K^\dagger K=\mathbb 1$，不是 $\sum KK^\dagger=\mathbb 1$（后者是幺正保持）。
Kraus 表示不唯一，不能把某一组 $K_k$ 当成“唯一的物理跳跃”，物理意义依赖于读出环境的方式。
“正”不等于“完全正”。系统与环境初始有关联时，约化动力学不一定是 CP，甚至不一定能定义成一个线性映射（文献里有 Pechukas、Jordan–Shaji–Sudarshan 等人的讨论）。
各教材符号不同：$K_k$、$E_k$、$A_k$、$M_m$ 都可能表示同一类对象，注意区分它是“更新算符”还是“POVM 元”。

7. 小结

总结

Kraus 算符是量子操作的“算符坐标”：线性、完全正的映射 $\Leftrightarrow$ $\sum_kK_k\rho K_k^\dagger$。它从测量的状态更新出发，与 Stinespring 膨胀、Choi 矩阵殊途同归；它的非唯一性对应于环境读出方式的自由，它的约束 $\sum K^\dagger K=\mathbb 1$ 对应于概率守恒。在实践里，它是开放系统、测量、纠错、层析和信道优化的共同语言。

参考文献

K. Kraus, General state changes in quantum theory, Ann. Phys. 64, 311 (1971). doi:10.1016/0003-4916(71)90108-4
K.-E. Hellwig, K. Kraus, Pure operations and measurements, Commun. Math. Phys. 11, 214 (1969). doi:10.1007/BF01645807
K.-E. Hellwig, K. Kraus, Operations and measurements. II, Commun. Math. Phys. 16, 142 (1970).
K. Kraus, States, Effects, and Operations: Fundamental Notions of Quantum Theory, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983). doi:10.1007/3-540-12732-1
W. F. Stinespring, Positive functions on C*-algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 6, 211 (1955).
E. C. G. Sudarshan, P. M. Mathews, J. Rau, Stochastic dynamics of quantum-mechanical systems, Phys. Rev. 121, 920 (1961).
A. Jamiołkowski, Linear transformations which preserve trace and positive semidefinite operators, Rep. Math. Phys. 3, 275 (1972).
M.-D. Choi, Completely positive linear maps on complex matrices, Linear Algebra Appl. 10, 285 (1975).
V. Gorini, A. Kossakowski, E. C. G. Sudarshan, Completely positive dynamical semigroups of N-level systems, J. Math. Phys. 17, 821 (1976).
G. Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math. Phys. 48, 119 (1976).
R. Knill, R. Laflamme, Theory of quantum error-correcting codes, Phys. Rev. A 55, 900 (1997).
T. Baumgratz, M. Cramer, M. B. Plenio, Quantifying coherence, Phys. Rev. Lett. 113, 140401 (2014).
M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press (2000), 第 8 章。
D. Chruściński, S. Pascazio, A brief history of the GKLS equation, Open Syst. Inf. Dyn. 24, 1740001 (2017)，对 1961 年 Sudarshan–Mathews–Rau 论文有专门讨论。

引用本概念的笔记

还没有笔记引用本概念。在笔记里链接到本页，这里会自动出现。

表示	形式	突出什么
Kraus 表示	\(\Phi(\rho)=\sum_kK_k\rho K_k^\dagger\)	物理直观，易于计算
Choi 矩阵	\(J(\Phi)\ge0\)，\(\Tr_BJ=\mathbb 1_A\)（保迹）	CP 和 TP 都变成线性矩阵不等式，适合 SDP
Stinespring 膨胀	\(\Phi(\rho)=\Tr_E[V\rho V^\dagger]\)	与环境、互补信道的联系
过程矩阵 \(\chi\)	\(\Phi(\rho)=\sum_{m,n}\chi_{mn}E_m\rho E_n^\dagger\)	在固定算符基（如 Pauli 基）下做层析
转移矩阵	\(\mathrm{vec}\,\Phi(\rho)=\hat\Phi\,\mathrm{vec}\,\rho\)	级联就是矩阵乘法