局域隐变量理论
定义
一般场景：Alice 选测量 \(x\) 得结果 \(a\)，Bob 选测量 \(y\) 得结果 \(b\)，Charie...,所有参与方类空间隔开。实验可观测的全部数据是一组条件概率 \(p(abc...|xyz...)\)，称为行为behavior/关联correlation。
LHV 模型：若存在变量 \(\lambda\)、分布 \(\rho(\lambda)\) 以及局部响应函数（假设只有一个隐变量），使得
则称该关联是局域的（Bell-local）。
问题从哪来
1935 年 Einstein等三人（EPR）反驳量子力学的非经典性，提出：对纠缠态分别测量两个远处粒子，结果完全关联。若假设
- 实在性：现实物理量都是能被确定预言的量(因为经典理论的描述方式都是绝对的预测，也就是理论是实在确定性的，现实世界只是完全遵从这种确定性的理论)
- 局域性：对 A 的操作不能瞬间影响 B；
则量子力学对系统的描述是不完备的，应存在某种未被量子态记录的附加变量 λ（"隐变量"），真正决定测量结果。
局域隐变量（LHV）理论就是把这一想法写成数学模型，也就是确定性概率的凸组合。1964 年 Bell 证明：任何 LHV 模型的预言都必须满足某些不等式，而量子力学会违反它们。 于是这个哲学问题变成了可以做实验的问题。本质上是不同理论描述概率向量集合在概率向量所在的空间的大小有差异，我们可以找到一个概率向量的线性约束，作为这个向量空间的一个超平面，来区分不同理论的集合。
定义的假设内容（LHV本质）
| 假设 | 数学体现 | 含义 |
|---|---|---|
| 局域性 / 可分解性 | 给定 λ 后 \(p(ab\vert xy,\lambda)=p_A(a\vert x,\lambda)\,p_B(b\vert y,\lambda)\) | Alice 的结果只依赖本地设置和 λ |
| 测量独立性（自由选择） | \(\rho(\lambda\vert x,y)=\rho(\lambda)\) | λ 与测量选择无关 |
| （隐含）存在 λ 这一共同原因 | λ的条件概率 | 关联源于过去的共同原因 |
还有确定性，每个局域确定概率都是 0 或 1.
Fine 定理
每个随机的局部响应 \(p_A(a|x,\lambda)\) ，由于理论的确定性和变成确定性函数 \(a=f(x,\lambda)\)。因此：
两体确定性局部策略：给每个输入预先指定输出，\(a=f(x)\)，\(b=g(y)\)。所有局域关联构成的集合 \(\mathcal L\) 是一个凸多胞形（局域多胞形），通过定义很容易得到，顶点就是这些确定性策略。 考虑LHV描述概率向量的集合几何形状，最简单的 bell 场景则是 2 输入 2 输出场景：Alice 有 \(2^2=4\) 种策略，Bob 也 4 种，共 16 个顶点。
Bell 不等式 = 局域多胞形的刻面（边缘切面的超平面）（facet）。违反任一 Bell 不等式 ⇒ LHV 模型错误。
Bell场景下CHSH 不等式区分 LHV 和 quantum theory
详见词条 CHSH 不等式。
取 \(a,b\in\{\pm1\}\)，定义关联函数 \(E_{xy}=\langle ab\rangle_{xy}\)，令
局域上界：对任一确定性策略 \(a_0,a_1,b_0,b_1\in\{\pm1\}\)，
\(b_0+b_1\) 与 \(b_0-b_1\) 必有一个为 0、另一个为 \(\pm2\)，故 \(|S|\le 2\)。凸组合不增加上界：
量子违反：态 \(|\Phi^+\rangle\)，取 \(A_0=Z,\ A_1=X,\ B_{0,1}=(Z\pm X)/\sqrt2\)，得
这是量子力学允许的最大值，即 Tsirelson 界。
无信号上界：PR 盒子可达 \(S=4\)，不违反相对论但量子力学也无法实现。
Fine (1982)：在 2-2-2 场景中，CHSH（及其对称变体）是局域多胞形唯一的非平凡面。
关联集合的层级
| 集合 | 描述 | Bell 场景的CHSH 最大值 |
|---|---|---|
| \(\mathcal L\) 局域 | LHV描述，多胞形 | 2 |
| \(\mathcal Q\) 量子 | 共享量子态 + 本地测量，凸但非多胞形 | \(2\sqrt2\) |
| \(\mathcal{NS}\) 无信号 | 仅要求边缘分布不依赖对方输入，多胞形 | 4 |
非局域 ≠ 超光速通信
Jarrett/Shimony 把可分解性拆成两部分：
- 参数独立（PI）：\(p(a|x,y,\lambda)=p(a|x,\lambda)\) —— 一方设置不影响其他方；
- 结果独立（OI）：\(p(a|x,y,b,\lambda)=p(a|x,y,\lambda)\) —— 一方结果不影响其他方。
量子力学满足 PI（因此无信号，不能用来传信息）。
实验与漏洞
实验违反 Bell 不等式，需排除以下"漏洞"才能严格否定 LHV：
| 漏洞 | 内容 | 解决办法 |
|---|---|---|
| 局域性漏洞 | 测量选择与结果之间可能亚光速通信 | 类空间隔 + 快速随机切换设置（Aspect 1982, Weihs 1998） |
| 探测漏洞（公平采样） | 探测效率低，被探测子样本可能有偏 | 高效率探测器（CHSH 需 >82.8%，Eberhard 方案可降到 >⅔） |
| 自由选择漏洞 | 设置可能与 λ 相关 | 真随机数？ |
| 记忆漏洞 | 多轮之间的关联 |
2015 无漏洞实验：Delft（Hensen 等，NV 色心）、Vienna（Giustina 等，光子）、NIST（Shalm 等，光子）同时关闭局域性与探测漏洞。2022 年诺贝尔物理学奖授予 Aspect、Clauser、Zeilinger。
与纠缠的关系
- 不纠缠 ⇒局域：可分态 \(\rho=\sum_i p_i\,\rho_A^i\otimes\rho_B^i\) 天然属于 LHV 模型（λ 就是 \(i\)）。
-
纠缠 ⇏ 非局域：Werner (1989) 构造了纠缠但对所有投影测量都有 LHV 模型的态：
\[ \rho_W=p\,|\Psi^-\rangle\langle\Psi^-|+(1-p)\,\tfrac{I}{4} \]- \(p>1/3\)：纠缠
- \(p>1/2\)：可导引（投影测量下）
- \(p\le 1/2\)：Werner 原始 LHV 模型成立；后续工作把投影测量下的局域阈值收紧到约 0.68–0.70
- \(p>1/\sqrt2\approx0.707\)：违反 CHSH
所以有严格层级：Bell 非局域 ⊊ EPR 可导引 ⊊ 纠缠。 - 补充：某些局域态经过局域滤波（hidden nonlocality）或多份拷贝后可以显出非局域性。
易混淆概念
- 非语境隐变量（Kochen–Specker）：要求测量值不依赖同时测的其他相容可观测量。它针对单系统，与"局域"无关；KS 定理不需要纠缠和空间分离。LHV 可视为非语境性在空间分离情形下的特例（语境由不同实验室自然隔开）。
- Bohm 力学：一种非局域隐变量理论，完全重现量子力学——说明 Bell 定理排除的是"局域"，不是"隐变量"本身。
- 超决定论：放弃测量独立性即可在形式上保留局域 λ，但代价是否定实验者选择的独立性，通常被认为不可检验。
应用：设备无关（DI）
Bell 违反的结论只依赖观测统计 \(p(ab|xy)\)，不依赖设备内部如何工作。由此产生DI验证（设备无关验证）。
总结
LHV 理论 = "结果由共同的过去原因 λ 决定，且每一方只受本地设置影响"。其所有可能预言构成局域多胞形，Bell 不等式是它的边界；最简单例子 bell 场景的 CHSH 不等式量子力学越过边界（最高到 \(2\sqrt2\)），无漏洞实验证实了这一点，因此自然界不能用任何局域隐变量理论描述（除非放弃自由选择）。
参考文献
- A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).
- J. S. Bell, Physics 1, 195 (1964).
- J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt, PRL 23, 880 (1969).
- A. Fine, PRL 48, 291 (1982).
- R. F. Werner, PRA 40, 4277 (1989).
- N. Brunner, D. Cavalcanti, S. Pironio, V. Scarani, S. Wehner, "Bell nonlocality", Rev. Mod. Phys. 86, 419 (2014). ← 最佳综述
- B. Hensen et al., Nature 526, 682 (2015).
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