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并发度（Concurrence）

Concurrence纠缠资源理论

定义

wootters并发度 对两量子比特纯态 \(\ket{\psi}\)，定义自旋翻转态 \(\ket{\tilde\psi}=(\sigma_y\otimes\sigma_y)\ket{\psi^*}\)（\(^*\) 表示在计算基下取复共轭），并发度为

\[C(\psi)=\lvert\braket{\psi}{\tilde\psi}\rvert .\]

若 \(\ket{\psi}=a\ket{00}+b\ket{01}+c\ket{10}+d\ket{11}\)，则 \(C(\psi)=2\lvert ad-bc\rvert\)。

对混态情况则 \(\rho\)，用convex roof推广：

$\(C(\rho)=\min_{\{p_i,\psi_i\}}\sum_i p_i\,C(\psi_i),\)$ 多体量子比特的推广

直观含义

\(\sigma_y\) 加复共轭这个操作叫"自旋翻转"，它把单个量子比特的任意纯态映成与之正交的态（Bloch 矢量反向）。因此：

  • 对积态 \(\ket{a}\ket{b}\)，两个比特各自被翻到正交态，\(\braket{\psi}{\tilde\psi}=0\)，并发度为零；
  • 对 Bell 态，自旋翻转只改变一个整体相位，重叠为 \(1\)，并发度最大。

所以并发度衡量的是"这个态在自旋翻转下有多像它自己"——越不像积态，越能保持不变。

对纯态，它也可以用约化态写出：

\[C(\psi)=\sqrt{2\left(1-\Tr\rho_A^2\right)}=2\sqrt{\det\rho_A},\qquad \rho_A=\Tr_B\ket{\psi}\bra{\psi},\]

即约化态越混，纠缠越大。

并发度本身是纠缠单调量，但它最重要的地位来自与形成纠缠（entanglement of formation）的一一对应：

\[E_F(\rho)=h\!\left(\frac{1+\sqrt{1-C(\rho)^2}}{2}\right),\qquad h(x)=-x\log_2x-(1-x)\log_2(1-x).\]

\(E_F\) 是 \(C\) 的单调递增函数，而 \(E_F\) 原本是一个难算的凸顶优化，借助并发度在两量子比特上就能直接算出。这是并发度被提出的初衷。

例子

例 1：部分纠缠纯态

\(\ket{\psi}=\cos\theta\ket{00}+\sin\theta\ket{11}\)。这里 \(a=\cos\theta,\ d=\sin\theta,\ b=c=0\)，所以

\[C=2\lvert\cos\theta\sin\theta\rvert=\lvert\sin2\theta\rvert .\]

\(\theta=0\) 时是积态，\(C=0\)；\(\theta=\pi/4\) 时是 Bell 态 \(\ket{\Phi^+}\)，\(C=1\)。

例 2：Werner 态

\(\rho_p=p\ket{\Psi^-}\bra{\Psi^-}+(1-p)\dfrac{\mathbb 1}{4}\)，\(0\le p\le1\)。

\(\ket{\Psi^-}\) 在自旋翻转下不变，\(\rho_p\) 又是实矩阵，所以 \(\tilde\rho_p=\rho_p\)，\(\lambda_i\) 就是 \(\rho_p\) 自己的本征值：\(\frac{1+3p}{4}\)（一重）和 \(\frac{1-p}{4}\)（三重）。于是

\[C(\rho_p)=\max\left\{0,\ \frac{1+3p}{4}-3\cdot\frac{1-p}{4}\right\}=\max\left\{0,\ \frac{3p-1}{2}\right\}.\]

Werner 态在 \(p>1/3\) 时纠缠，与 PPT 判据给出的阈值一致。

相关结果

  • 形成纠缠：两量子比特上 \(E_F\) 是 \(C\) 的单调函数（见上文公式）1。
  • 负性：对两量子比特态，负性 \(N(\rho)=\lVert\rho^{T_B}\rVert_1-1\) 满足 \(N\le C\)，纯态时取等 2。
  • 纠缠一夫一妻制（CKW 不等式）：三量子比特纯态满足 \(C_{AB}^2+C_{AC}^2\le C_{A(BC)}^2\)，其中 \(C_{A(BC)}=2\sqrt{\det\rho_A}\)；差值定义了三体纠缠（tangle）3。
  • 高维推广：I-并发度 \(C(\psi)=\sqrt{2(1-\Tr\rho_A^2)}\) 对任意维数纯态有定义，但混态的凸顶一般没有 Wootters 式的闭式解 4。

  1. W. K. Wootters, Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)；纯态和秩 2 情形见 S. Hill and W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997)。 ↩

  2. F. Verstraete, K. Audenaert, J. Dehaene, B. De Moor, A comparison of the entanglement measures negativity and concurrence, J. Phys. A 34, 10327 (2001)。 ↩

  3. V. Coffman, J. Kundu, W. K. Wootters, Distributed entanglement, Phys. Rev. A 61, 052306 (2000)。 ↩

  4. P. Rungta, V. Bužek, C. M. Caves, M. Hillery, G. J. Milburn, Universal state inversion and concurrence in arbitrary dimensions, Phys. Rev. A 64, 042315 (2001)。 ↩

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