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CHSH 不等式

CHSH inequalityBell 非局域性器件无关

陈述

两方 Alice、Bob 各自从两个测量 \(x,y\in\{0,1\}\) 中选一个，得到结果 \(a,b\in\{+1,-1\}\)。记关联函数 \(E_{xy}=\sum_{a,b}ab\,p(ab|xy)\)。若关联存在局域隐变量模型

\[p(ab|xy)=\int d\lambda\,q(\lambda)\,p(a|x,\lambda)\,p(b|y,\lambda),\]

则

\[S=E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11},\qquad \lvert S\rvert\le 2 .\]

直观含义

如果测量结果在测量之前就由某个共同原因 \(\lambda\) 决定、而且每一方的结果只依赖自己的设置，那么四个关联不可能"同时都很强"：前三项都取 \(+1\) 时，第四项被迫也取 \(+1\)，于是 \(S\) 最多是 2。实验测到 \(\lvert S\rvert>2\)，就说明不存在这样的局域解释——这就是 Bell 非局域性。

结论只用到概率表 \(p(ab|xy)\)，不涉及设备内部的物理实现，所以它是器件无关（DI）方案的基本工具。

成立条件

  • 场景：两方、每方两个设置、结果取 \(\pm1\)（多值结果要先映射到 \(\pm1\)）。
  • 局域性：Alice 的结果只依赖 \(x\) 和 \(\lambda\)，不依赖 Bob 的设置 \(y\)，反之亦然。
  • 测量独立性：\(\lambda\) 的分布 \(q(\lambda)\) 与设置 \((x,y)\) 无关（自由选择）。
  • 实验上还要关掉漏洞：空间类隔离（locality loophole）、足够高的探测效率（detection loophole）、独立的随机数源（freedom-of-choice loophole）。

不需要假设量子力学、希尔伯特空间维数或设备的工作原理。

证明思路

  1. 局域模型是局域确定性策略的凸组合，而 \(S\) 对 \(p\) 是线性的，所以只需检查确定性策略。

  2. 固定 \(\lambda\) 时，结果是确定的数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\in\{\pm1\}\)，此时

    \[S_\lambda=a_0(b_0+b_1)+a_1(b_0-b_1).\]

  3. \(b_0+b_1\) 和 \(b_0-b_1\) 中恰好一个是 0、另一个是 \(\pm2\)，所以 \(S_\lambda=\pm2\)。

  4. 对 \(q(\lambda)\) 取平均，\(\lvert S\rvert\le\int d\lambda\,q(\lambda)\lvert S_\lambda\rvert=2\)。

何时取等

\(S=2\) 由局域确定性策略取到，例如所有结果都输出 \(+1\)：\(S=1+1+1-1=2\)。16 个确定性策略里恰有 8 个取到 \(S=2\)，它们张成局域多面体的一个面（facet），所以 CHSH 不等式是紧的 Bell 不等式。

相关结果

  • Tsirelson 界：量子力学允许的最大值是 \(2\sqrt2\)，达到时可以自检验最大纠缠态。
  • 无信号（NS）关联最多可以达到 \(S=4\)（PR box），所以 \(2<2\sqrt2<4\) 把局域、量子、无信号三个集合分开。
  • Fine 定理：在两方、两设置、两结果的场景里，CHSH 不等式（及其重标记）连同正性条件完全刻画了局域多面体。
  • 探测效率：用最大纠缠态检验 CHSH 需要效率高于 \(2/(1+\sqrt2)\approx82.8\%\)；Eberhard 用非最大纠缠态把门槛降到约 \(2/3\)。
  • 原始文献：J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt, PRL 23, 880 (1969)。

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